雇用についての質問です。

今の職場で、働いて２ヶ月になるのですが、前職の会社から、失業票？
が貰えてないから、社員登録みたいなことが出来ず、その為、アルバイト扱いにしか出来ないと
言われ、時給換算の給料しか出すことが出来ないと…

実際、それが法的根拠があるのかわからず、オーナーにも突っ込んだ話ができません

どなたか、分かるかたがいたら教えてほしいです

離職票です
前職で雇用保険、厚生年金等が給料から控除されてませんでしたか？
離職票がないと雇用保険や厚生年金等の切替がきませんし、失業保険給付(すでに働いてるためあなたにはこれは関係ありません)が受けられません
切替るためには事業所から渡される離職票が必要になります
お勤め先に問い合わせましょう
曖昧な返事や拒否されたらハローワークや監督署に相談しましょう(管轄はハローワークですから最初に相談するのはハローワークで)

仮処分申請で係争中に、裁判とあまり関係ない部分で弁護士に
何か頼むと「実費」として後で請求されますか？
解雇無効の地位保全・賃金仮払いの申し立てをしています。

その内容とは別で、たとえば、今困っているのが、
「会社が送ってきた離職票の離職理由の記載が違うため、
ハローワークから書き直しを申立てたとしたら、それを
会社がよこすまでは失業保険が受けられない」ということです。

これを弁護士に「異議を申し立てず失業保険を受けてもいいか」と
相談したら、「解雇理由証明書もあるのに離職票の記載を優先して
受給資格を決めるなんて、そのハローワークの判断はおかしい。
私が電話して交渉してあげる」と言ってくれます。

こういう訴訟とはあまり関係ないことまで弁護士に頼んだら、
実費として取られるのですか？
あるいは、訴訟中の和解の条件の中で交渉する形なら「実費」として
加算されないんでしょうか？

係争中は内容証明１通でも「着手金」「成功報酬」以外の「実費」に
なっているんでしょうか？

その弁護士によって違うでしょう。
お金主義の弁護士なら実費として支給されると思いますが、文章からは弁護士が進んでしてくれたように見られますので、弁護士に確認するしか無いですね。

失業保険支給の際の求職活動の回数の問題。
現在、求職中で１１月１８日が次回認定日です。
前回の認定日が１０月２１日でその日に求職活動をしました。

失業保険を支給してもらうのに、前回の認定日から
今回の認定日の前日までに２回の求職活動が必要とあります。

私が１０月２１日にした求職活動は、一回にカウントできますか？
１０月２１日から１１月１７日までの期間ということでしょうか？
それとも１０月２２日から１１月１７日までということでしょうか？

よろしくお願いします。

１０月２１日から１１月１７日までの期間ということです。
ですから、２１日は今回分にはいります。
補足
認定日に出席すればそれも１回とカウントしてもらえる地域もあります。確認してみてください。
そういったハローワークは少ないとは思いますが私の場合はそうでした。

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